Question

8．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=$\frac{3}{2}$，且a_n=$\frac{{3n{a_{n-1}}}}{{2{a_{n-1}}+n-1}}$（n≥2，n∈N^*）．證明：{1-$\frac{n}{{a}_{n}}$}為一個等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 先將遞推公式兩邊取倒數(shù)，再兩邊乘以n，再兩邊減去1，得到1-$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$•[1-$\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$]，即可下結(jié)論．

解答 證明：∵a_n=$\frac{{3n{a_{n-1}}}}{{2{a_{n-1}}+n-1}}$，兩邊取倒數(shù)得，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+n-1}{3n{a}_{n-1}}$，兩邊乘以n，并裂項得，
$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$•$\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$，兩邊減1得，
$\frac{n}{{a}_{n}}$-1=-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$•$\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$-1），
因此，1-$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$•[1-$\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$]，
故數(shù)列{1-$\frac{n}{{a}_{n}}$}是以1-$\frac{1}{{a}_{1}}$為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
所以，1-$\frac{n}{{a}_{n}}$=（1-$\frac{1}{{a}_{1}}$）•$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，其中a₁=$\frac{3}{2}$，
解得，a_n=$\frac{n•3^n}{3^n-1}$．

點評 本題主要考查了等比關(guān)系的確定和數(shù)列通項公式的解法，證明中用到了綜合法與等比數(shù)列定義，屬于中檔題．