Question

1．已知圓C經(jīng)過點（1，-1），且圓心為C（2，0）．
（Ⅰ）求圓C的標準方程；
（Ⅱ）求直線l：4x+3y-13=0被圓C截得的弦長；
（Ⅲ）過點P（0，-$\sqrt{2}$）作圓C的兩條切線，切點分別是A，B，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求圓C的標準方程；
（Ⅱ）求直線l：4x+3y-13=0被圓C截得的弦長；
（Ⅲ）法1：由題意得到P，A，C，B四點共圓，且PC為直徑，求出M坐標及半徑，確定出圓M方程，與圓C方程結合求出公共弦AB方程即可；法2：由AB的垂直平分線為PC，根據(jù)直線PC的斜率求出直線AB的斜率，根據(jù)y=-$\sqrt{2}$為經(jīng)過P的圓C一條切線，求出切點坐標，即可確定出直線AB方程．

解答 解：（Ⅰ）設圓C標準方程為（x-2）²+y²=r²（r＞0），
由圓C經(jīng)過點C（1，-1），故將C（1，-1）代入圓C方程得：r²=2，
則圓C標準方程為（x-2）²+y²=2；
（Ⅱ）∵圓心C（2，0）到直線l：4x+3y-13=0的距離d=$\frac{|8-13|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=1，r=1，
∴所求弦長為2$\sqrt{{r}^{2}-z44lwch^{2}}$=2$\sqrt{2-1}$=2；
（Ⅲ）法1：由題意得到P，A，C，B四點共圓，且PC為該圓的直徑，
∴該圓的圓心為PC的中點M（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），半徑為$\frac{|PC|}{2}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（2-0）^{2}+（0+\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴圓M方程為（x-1）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{3}{2}$①，
由（Ⅰ）得：圓C方程為（x-2）²+y²=2②，
∵AB為兩圓的公共弦，
∴②-①得：-2x+3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$，即$\sqrt{2}$x+y-$\sqrt{2}$=0，
則直線AB的方程為$\sqrt{2}$x+y-$\sqrt{2}$=0；
法2：由題意得：AB的垂直平分線為PC，
∵直線PC的斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直線AB的斜率為-$\sqrt{2}$，
∵y=-$\sqrt{2}$是經(jīng)過P的圓C一條切線，
∴直線y=-$\sqrt{2}$與圓C相切于點（2，-$\sqrt{2}$），
∴直線AB的方程為y+$\sqrt{2}$=-$\sqrt{2}$（x-2），即$\sqrt{2}$x+y-$\sqrt{2}$=0．

點評 此題考查了直線與圓的方程的應用，直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，勾股定理，垂徑定理，點到直線的距離公式，直線與圓相切的性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．