Question

已知f（x）=2x³+3ax²-12a²x+2a，a∈R．
（1）若f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若g（x）=f（x）+2x-x²的區(qū)間（0，1）內(nèi)存在極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）△≤0時，g′（x）≥0成立，即g（x）在R上單調(diào)遞增，不存在極值；△＞0時，

g′(0)≥0 g′(1)＞0 △＞0 0＜ 2(1-3a) 12 ＜1

或

g′(0)＜0 g′(1)＞0

，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=2x³+3ax²-12a²x+2a，
∴f′（x）=6（x+2a）（x-a），
a＞0，當(dāng)且僅當(dāng)x∈（-2a，a），f′（x）＜0，從而f（x）在（-2a，a）上單調(diào)遞減，則

f(0)＞0 f(a)＜0 -2a≤0 a≥1

，∴a≥1；
同理a＜0無解；
a=0時，f（x）=x³在（0，1）上無零點(diǎn)，
綜上，a≥1；
（2）∵g（x）=f（x）+2x-x²，
∴g′（x）=6x²+2（3a-1）x+2-12a²，
△=4（27a-11）（3a+1）．
△≤0時，g′（x）≥0成立，即g（x）在R上單調(diào)遞增，不存在極值；
△＞0時，

g′(0)≥0 g′(1)＞0 △＞0 0＜ 2(1-3a) 12 ＜1

或

g′(0)＜0 g′(1)＞0

，
解得-

1

2

＜a＜-

1

3

或

6

6

＜a＜1．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．