Question

討論直線l：y=kx+1與雙曲線C：x²-y²=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：聯(lián)立y=kx+1與雙曲線C：x²-y²=1，化為（1-k²）x²-2kx-2=0．分類討論：當(dāng)1-k²=0時(shí)，可得k=±1，此時(shí)直線l與等軸雙曲線的漸近線；當(dāng)1-k²≠0時(shí)，△=4k²+8（1-k²）=0，直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；△=4k²+8（1-k²）＞0，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)．

解答： 解：聯(lián)立y=kx+1與雙曲線C：x²-y²=1，化為（1-k²）x²-2kx-2=0．
①當(dāng)1-k²=0時(shí)，可得k=±1，此時(shí)直線l的方程為y=±x+1，分別與等軸雙曲線的漸近線y=±x平行，此時(shí)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；
②當(dāng)1-k²≠0時(shí)，由△=4k²+8（1-k²）=0，解得k=±

2

，直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
③當(dāng)1-k²≠0時(shí)，由△=4k²+8（1-k²）＞0，解得-

2

＜k＜

2

，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系及其性質(zhì)、一元二次方程與△的關(guān)系、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于難題．