Question

已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+

π

6

)，(ω＞0)的周期是π．
（1）求ω和f(

π

12

)的值；
（2）求函數(shù)g(x)=f(x+

π

6

)+f(x-

π

12

)的最大值及相應(yīng)x的集合．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的周期公式即可求ω和f(

π

12

)的值；
（2）將函數(shù)g（x）進(jìn)行化簡，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)的最大值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f(x)=sin(ωx+

π

6

)的周期是π，且ω＞0，
∴T=

2π

ω

=π，解得ω=2．
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)．
∴f(

π

12

)=sin(2×

π

12

+

π

6

)=sin

π

3

=

3

2

．
（2）∵g(x)=f(x+

π

6

)+f(x-

π

12

)=sin[2(x+

π

6

)+

π

6

]+sin[2(x-

π

12

)+

π

6

]=sin(2x+

π

2

)+sin2x=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

+2kπ，k∈z，
即x=

π

8

+kπ時，g（x）取最大值

2

．
此時x的集合為{x|x=

π

8

+kπ，k∈Z}．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握函數(shù)的周期性和函數(shù)最值的求解方法．