Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，稱圓心在坐標原點O，半徑為

a2+b2

的圓是橢圓C的“伴隨圓”，已知橢圓C的兩個焦點分別是F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)．
（1）若橢圓C上一動點M₁滿足|

M1F1

|+|

M1F2

|=4，求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）在（1）的條件下，過點P（0，t）（t＜0）作直線l與橢圓C只有一個交點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為2

3

，求P點的坐標；
（3）已知m+n=-

cosθ

sinθ

，mn=-

3

sinθ

(m≠n，θ∈（0，π）），是否存在a，b，使橢圓C的“伴隨圓”上的點到過兩點（m，m²），（n，n²）的直線的最短距離dmin=

a2+b2

-b．若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓錐曲線的軌跡問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用橢圓的定義，可得橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）設直線l的方程為y=kx+t，代入橢圓方程，根據(jù)直線l截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為2

3

，直線l與橢圓C只有一個交點，建立方程組，即可求P點的坐標；
（3）求出過兩點（m，m²），（n，n²）的直線方程，利用最短距離

a2+b2

-b，即可得出結論．

解答： 解：（1）由題意，c=

2

，a=2，∴b=

a2-c2

=

2

，所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
其“伴隨圓”的方程為x²+y²=6；
（2）設直線l的方程為y=kx+t，代入橢圓方程為（2k²+1）x²+4tkx+2t²-4=0
∴由△=（4tk）²-8（2k²+1）（t²-2）=0得t²=4k²+2①，
由直線l截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為2

3

，可得

|t|

k2+1

=

3

，即t²=3（k²+1）②
由①②可得t²=6．
∵t＜0，∴t=-

6

，∴P（0，-

6

）；
（3）過兩點（m，m²），（n，n²）的直線的方程為

x-m

m-n

=

y-m2

m2-n2

，∴y=（m+n）x-mn，
∵m+n=-

cosθ

sinθ

，mn=-

3

sinθ

(m≠n，θ∈（0，π）），
∴y=-

cosθ

sinθ

x+

3

sinθ

，得xcosθ+ysinθ-3=0，
∴由于圓心（0，0）到直線xcosθ+ysinθ-3=0的距離為d=

3

cos2θ+sin2θ

=3．
當a²+b²≥9時，d_min=0，等式不能成立；
當a²+b²＜9時，d_min=3-

a2+b2

，由3-

a2+b2

=

a2+b2

-b得9+6b+b²=4a²+4b²．
因為a²=b²+2，所以7b²-6b-1=0，
∴（7b+1）（b-1）=0，∴b=1，a=

3

．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．