Question

（1）在（x-y）¹⁰的展開式中，求x⁷y³的系數(shù)與x³y⁷的系數(shù)之和；
（2）4位同學參加某種形式的競賽，競賽規(guī)則規(guī)定：每位同學必須從甲．乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對得100分，答錯得-100分；選乙題答對得90分，答錯得-90分．若4位同學的總分為0，求這4位同學不同得分情況的種數(shù)．

Answer 1

考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題

專題：排列組合

分析：（1）首先要了解二項式定理：（a+b）ⁿ=C_n⁰aⁿb⁰+C_n¹a^n-1b¹+C_n²a^n-2b²++C_n^ra^n-rb^r++C_nⁿa⁰bⁿ，各項的通項公式為：T_r+1=C_n^ra^n-rb^r．然后根據(jù)題目已知求解即可．
（2）根據(jù)題意，4位同學的總分為0，分①4人都選甲題，②4人都選乙題，③甲乙兩被題都選，3種情況討論，分別計算其情況數(shù)目，進而求和可得答案．

解答： 解：（1）因為（x-y）¹⁰的展開式中含x⁷y³的項為C₁₀³x^10-3y³（-1）³=-C₁₀³x⁷y³，
含x³y⁷的項為C₁₀⁷x^10-7y⁷（-1）⁷=-C₁₀⁷x³y⁷．
由C₁₀³=C₁₀⁷=120知，x⁷y³與x³y⁷的系數(shù)之和為-240．
（2）解：根據(jù)題意，4位同學的總分為0，分3種情況討論．
①4人都選甲題，必須2人答對，2人答錯，共C₄²=6種情況，
②4人都選乙題，必須2人答對，2人答錯，共C₄²=6種情況，
③甲乙兩題都選，則必須2人選甲題，且1人答對，1人答錯，另2人選乙題，且1人答對，1人答錯；
共2×2×C₄²=24種情況，
綜合可得：共6+6+24=36種情況，

點評：本題考查組合數(shù)公式的運用以及二項式定理的應(yīng)用問題，注意組合與排列的不同，本題中，要注意各種情況間的關(guān)系，避免重復(fù)、遺漏．