Question

已知向量

OA

=（1，7），

OB

=（5，1），

OP

=（2，1），點(diǎn)Q為直線OP上一動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求|

OA

+

OB

|；
（Ⅱ）當(dāng)

QA

•

QB

取最小值時(shí)，求

OQ

的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量的模

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）直接根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算，求解

OA

+

OB

=（6，8），然后，求解|

OA

+

OB

|；
（Ⅱ）設(shè)Q（x，y），根據(jù)共線，得到x=2y，利用坐標(biāo)運(yùn)算，

QA

•

QB

=（x-1）（x-5）+（y-7）（y-1）=5（y-2）²-8，再借助于二次函數(shù)知識求解取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

OA

=（1，7），

OB

=（5，1），
∴

OA

+

OB

=（6，8），
∴|

OA

+

OB

|=

62+82

=10，
∴|

OA

+

OB

|=10．
（Ⅱ）設(shè)Q（x，y），點(diǎn)Q為直線OP上一動(dòng)點(diǎn)，
∴

OP

=λ

OQ

，
∴（2，1）=λ（x，y），①
∴x=2y，
∵

QA

=

OA

-

OQ

=(x-1，y-7)

QB

=

OB

-

OQ

=(x-5，y-1)，
∴

QA

•

QB

=（x-1）（x-5）+（y-7）（y-1）
=（2y-1）（2y-5）+（y-7）（y-1）
=5（y-2）²-8
∴y=2時(shí)，

QA

•

QB

取最小值，
此時(shí)，x=4，∴Q（4，2）
∴

OQ

=(4，2)．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了向量共線、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算等知識，屬于綜合題，理解向量與二次函數(shù)的有機(jī)結(jié)合是解題的關(guān)鍵．