Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在兩個極值點，且關于的方程恰有三個實數(shù)根，，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求導后按照、、分類討論，求出、的解集即可得解；

（2）構(gòu)造新函數(shù)，求導后可得即可得；同理可得，即可得證.

（1）由題意得，

令即，，

①當時，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當時，，

的兩根為，，

（i）當即時，，

所以當時，；當時，；

所以在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；

（ii）當即時，，

所以當時，；

當時，；

則在上單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增.

綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增；

（2）證明：由題意得，，，

令，

則

，

由（1）知，

則

又，可知對于均有，

所以，所以，

由可得，

結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得即，

令，

同理可得，

由可得當時，，

所以，所以，

由可得，

結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得即，

所以即，得證.