【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn),過M的直線與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)為C,設(shè)橢圓E在A,B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)P,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)證明:O、C、P三點(diǎn)共線;
(2)已知是拋物線的弦,所在直線過該拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn),是弦在兩端點(diǎn)處的切線的交點(diǎn),小明同學(xué)猜想:在定直線上.你認(rèn)為小明猜想合理嗎?若合理,請(qǐng)寫出所在直線方程;若不合理,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析; (2)合理,在直線上
【解析】
(1)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理,利用導(dǎo)數(shù)求得任一點(diǎn)處切線的斜率,從而解得切線方程,得到點(diǎn)的坐標(biāo),由即可容易判斷;
(2)聯(lián)立的方程和拋物線方程,利用導(dǎo)數(shù)求得處的切線方程,結(jié)合已知條件,即可容易證明.
(1)設(shè),,直線AB的方程為.聯(lián)立
,消去x整理得,
由﹐得或
,
由橢圓對(duì)稱性,設(shè)是橢圓在x軸上方的任意一點(diǎn),
則由,得﹐
所以在處的切線斜率為,
故在處切線方程為,
結(jié)合化簡得
切線PA方程為:,同理,
聯(lián)立兩切線方程消去y得,
聯(lián)立解得,
由AB中點(diǎn)及可得
,、C、P三點(diǎn)共線.
(2)合理,在直線上.
證明如下:設(shè),,
直線斜率一定存在,
聯(lián)立消去y得,
,
由得,.
拋物線在處的切線方程為,
同理在處的切線方程為
聯(lián)立解得,
故在直線上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)在處的切線與直線平行,求實(shí)數(shù)的值;
(2)試討論函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
(3)若時(shí),函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三(1)班在一次語文測(cè)試結(jié)束后,發(fā)現(xiàn)同學(xué)們?cè)诒痴b內(nèi)容方面失分較為嚴(yán)重.為了提升背誦效果,班主任倡議大家在早、晚讀時(shí)間站起來大聲誦讀,為了解同學(xué)們對(duì)站起來大聲誦讀的態(tài)度,對(duì)全班50名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行整理后制成下表:
考試分?jǐn)?shù) | ||||||
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 5 | 10 | 5 |
贊成人數(shù) | 4 | 6 | 9 | 3 | 6 | 4 |
(1)欲使測(cè)試優(yōu)秀率為30%,則優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線應(yīng)定為多少分?
(2)依據(jù)第1問的結(jié)果及樣本數(shù)據(jù)研究是否贊成站起來大聲誦讀的態(tài)度與考試成績是否優(yōu)秀的關(guān)系,列出2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為贊成與否的態(tài)度與成績是否優(yōu)秀有關(guān)系.
參考公式及數(shù)據(jù):,.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】筆、墨、紙、硯是中國獨(dú)有的文書工具,即文房四寶.筆、墨、紙、硯之名,起源于南北朝時(shí)期,其中“紙”指的是宣紙,“始于唐代,產(chǎn)于涇縣”,因唐代涇縣隸屬宣州管轄,故因地得名宣紙,宣紙按質(zhì)量等級(jí)分類可分為正牌和副牌(優(yōu)等品和合格品)某公司生產(chǎn)的宣紙為純手工制作,年產(chǎn)宣紙10000刀,該公司按照某種質(zhì)量指標(biāo)x給宣紙確定質(zhì)量等級(jí),如下表所示:
x的范圍 | |||
質(zhì)量等級(jí) | 正牌 | 副牌 | 廢品 |
公司在所生產(chǎn)的宣紙中隨機(jī)抽取了一刀(100張)進(jìn)行檢驗(yàn),得到的頻率分布直方圖如上圖所示.已知每張正牌宣紙的利潤為12元,副牌宣紙的利潤為6元,廢品宣紙的利潤為-12元.
(1)試估計(jì)該公司生產(chǎn)宣紙的利潤;
(2)該公司預(yù)備購買一種售價(jià)為100萬元的機(jī)器改進(jìn)生產(chǎn)工藝,這種機(jī)器使用壽命為一年,不影響產(chǎn)量,這種機(jī)器生產(chǎn)的宣紙的質(zhì)量指標(biāo)x服從正態(tài)分布,改進(jìn)工藝后正牌和副牌宣紙的利潤都將受到不同程度的影響,觀測(cè)的數(shù)據(jù)如下表所示:
x的范圍 | ||||
一張宣紙的利潤 | 12 | 8 | 8 | 3 |
頻率 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 |
將頻率視為概率,請(qǐng)判斷該公司是否應(yīng)該購買這種機(jī)器,并說明理由
附:若,則,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為(為常數(shù),且),直線與曲線交于兩點(diǎn).
(1)若,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為進(jìn)一步規(guī)范校園管理,強(qiáng)化飲食安全,提出了“遠(yuǎn)離外賣,健康飲食”的口號(hào).當(dāng)然,也需要學(xué)校食堂能提供安全豐富的菜品來滿足同學(xué)們的需求.在學(xué)期末,校學(xué)生會(huì)為了調(diào)研學(xué)生對(duì)本校食堂A部和B部的用餐滿意度,從在A部和B部都用過餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了200人,每人分別對(duì)其評(píng)分,滿分為100分.隨后整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù),將分?jǐn)?shù)分成6組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,第6組,得到A部分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和B部分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表.
分?jǐn)?shù)區(qū)間 | 頻數(shù) |
7 | |
18 | |
21 | |
24 | |
70 | |
60 |
定義:學(xué)生對(duì)食堂的“滿意度指數(shù)”
分?jǐn)?shù) | ||||||
滿意度指數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
(1)求A部得分的中位數(shù)(精確到小數(shù)點(diǎn)后一位);
(2)A部為進(jìn)一步改善經(jīng)營,從打分在80分以下的前四組中,采用分層抽樣的方法抽取8人進(jìn)行座談,再從這8人中隨機(jī)抽取3人參與“端午節(jié)包粽子”實(shí)踐活動(dòng),在第3組抽到1人的情況下,第4組抽到2人的概率;
(3)如果根據(jù)調(diào)研結(jié)果評(píng)選學(xué)生放心餐廳,應(yīng)該評(píng)選A部還是B部(將頻率視為概率)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),且關(guān)于的方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根,,,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,為過焦點(diǎn)且垂直于軸的拋物線的弦,已知以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn).
(1)求的值及該圓的方程;
(2)設(shè)為上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作的切線,切點(diǎn)為,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某品種一批樹苗生長情況,在該批樹苗中隨機(jī)抽取了容量為120的樣本,測(cè)量樹苗高度(單位:cm),經(jīng)統(tǒng)計(jì),其高度均在區(qū)間[19,31]內(nèi),將其按[19,21),[21,23),[23,25),[25,27),[27,29),[29,31]分成6組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中高度為27cm及以上的樹苗為優(yōu)質(zhì)樹苗.
(1)求圖中a的值,并估計(jì)這批樹苗高度的中位數(shù)和平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)已知所抽取的這120棵樹苗來自于AB兩個(gè)試驗(yàn)區(qū),部分?jǐn)?shù)據(jù)如下列聯(lián)表:將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)樹苗與A,B兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)有關(guān)系,并說明理由.
參考數(shù)據(jù):
參考公式:,其中
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