【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)M的直線(xiàn)與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB中點(diǎn)為C，設(shè)橢圓E在A，B兩點(diǎn)處的切線(xiàn)相交于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）證明：O、C、P三點(diǎn)共線(xiàn)；

（2）已知是拋物線(xiàn)的弦，所在直線(xiàn)過(guò)該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，是弦在兩端點(diǎn)處的切線(xiàn)的交點(diǎn)，小明同學(xué)猜想：在定直線(xiàn)上．你認(rèn)為小明猜想合理嗎？若合理，請(qǐng)寫(xiě)出所在直線(xiàn)方程；若不合理，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析； （2）合理，在直線(xiàn)上

【解析】

（1）設(shè)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，利用導(dǎo)數(shù)求得任一點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率，從而解得切線(xiàn)方程，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，由即可容易判斷；

（2）聯(lián)立的方程和拋物線(xiàn)方程，利用導(dǎo)數(shù)求得處的切線(xiàn)方程，結(jié)合已知條件，即可容易證明.

（1）設(shè)，，直線(xiàn)AB的方程為．聯(lián)立

，消去x整理得，

由﹐得或

，

由橢圓對(duì)稱(chēng)性，設(shè)是橢圓在x軸上方的任意一點(diǎn)，

則由，得﹐

所以在處的切線(xiàn)斜率為，

故在處切線(xiàn)方程為，

結(jié)合化簡(jiǎn)得

切線(xiàn)PA方程為：，同理，

聯(lián)立兩切線(xiàn)方程消去y得，

聯(lián)立解得，

由AB中點(diǎn)及可得

，、C、P三點(diǎn)共線(xiàn)．

（2）合理，在直線(xiàn)上．

證明如下：設(shè)，，

直線(xiàn)斜率一定存在，

聯(lián)立消去y得，

，

由得，．

拋物線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為，

同理在處的切線(xiàn)方程為

聯(lián)立解得，

故在直線(xiàn)上．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，求實(shí)數(shù)的值；

（2）試討論函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（3）若時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校高三（1）班在一次語(yǔ)文測(cè)試結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們?cè)诒痴b內(nèi)容方面失分較為嚴(yán)重.為了提升背誦效果，班主任倡議大家在早、晚讀時(shí)間站起來(lái)大聲誦讀，為了解同學(xué)們對(duì)站起來(lái)大聲誦讀的態(tài)度，對(duì)全班50名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行整理后制成下表：

考試分?jǐn)?shù)

頻數(shù)

5

10

15

5

10

5

贊成人數(shù)

4

6

9

3

6

4

（1）欲使測(cè)試優(yōu)秀率為30%，則優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線(xiàn)應(yīng)定為多少分？

（2）依據(jù)第1問(wèn)的結(jié)果及樣本數(shù)據(jù)研究是否贊成站起來(lái)大聲誦讀的態(tài)度與考試成績(jī)是否優(yōu)秀的關(guān)系，列出2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為贊成與否的態(tài)度與成績(jī)是否優(yōu)秀有關(guān)系.

參考公式及數(shù)據(jù)：，.

0.100

0.050

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】筆、墨、紙、硯是中國(guó)獨(dú)有的文書(shū)工具，即文房四寶.筆、墨、紙、硯之名，起源于南北朝時(shí)期，其中“紙”指的是宣紙，“始于唐代，產(chǎn)于涇縣”，因唐代涇縣隸屬宣州管轄，故因地得名宣紙，宣紙按質(zhì)量等級(jí)分類(lèi)可分為正牌和副牌（優(yōu)等品和合格品）某公司生產(chǎn)的宣紙為純手工制作，年產(chǎn)宣紙10000刀，該公司按照某種質(zhì)量指標(biāo)x給宣紙確定質(zhì)量等級(jí)，如下表所示：

x的范圍

質(zhì)量等級(jí)

正牌

副牌

廢品

公司在所生產(chǎn)的宣紙中隨機(jī)抽取了一刀（100張）進(jìn)行檢驗(yàn)，得到的頻率分布直方圖如上圖所示.已知每張正牌宣紙的利潤(rùn)為12元，副牌宣紙的利潤(rùn)為6元，廢品宣紙的利潤(rùn)為-12元.

（1）試估計(jì)該公司生產(chǎn)宣紙的利潤(rùn)；

（2）該公司預(yù)備購(gòu)買(mǎi)一種售價(jià)為100萬(wàn)元的機(jī)器改進(jìn)生產(chǎn)工藝，這種機(jī)器使用壽命為一年，不影響產(chǎn)量，這種機(jī)器生產(chǎn)的宣紙的質(zhì)量指標(biāo)x服從正態(tài)分布，改進(jìn)工藝后正牌和副牌宣紙的利潤(rùn)都將受到不同程度的影響，觀測(cè)的數(shù)據(jù)如下表所示：

x的范圍

一張宣紙的利潤(rùn)

12

8

8

3

頻率

0.5

0.5

0.5

0.5

將頻率視為概率，請(qǐng)判斷該公司是否應(yīng)該購(gòu)買(mǎi)這種機(jī)器，并說(shuō)明理由.

附：若，則，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線(xiàn)的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為（為常數(shù)，且），直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn).

（1）若，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某學(xué)校為進(jìn)一步規(guī)范校園管理，強(qiáng)化飲食安全，提出了“遠(yuǎn)離外賣(mài)，健康飲食”的口號(hào)．當(dāng)然，也需要學(xué)校食堂能提供安全豐富的菜品來(lái)滿(mǎn)足同學(xué)們的需求．在學(xué)期末，校學(xué)生會(huì)為了調(diào)研學(xué)生對(duì)本校食堂A部和B部的用餐滿(mǎn)意度，從在A部和B部都用過(guò)餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了200人，每人分別對(duì)其評(píng)分，滿(mǎn)分為100分．隨后整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)分成6組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到A部分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和B部分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表．

分?jǐn)?shù)區(qū)間

頻數(shù)

7

18

21

24

70

60

定義：學(xué)生對(duì)食堂的“滿(mǎn)意度指數(shù)”

分?jǐn)?shù)

滿(mǎn)意度指數(shù)

0

1

2

3

4

5

（1）求A部得分的中位數(shù)（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）；

（2）A部為進(jìn)一步改善經(jīng)營(yíng)，從打分在80分以下的前四組中，采用分層抽樣的方法抽取8人進(jìn)行座談，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人參與“端午節(jié)包粽子”實(shí)踐活動(dòng)，在第3組抽到1人的情況下，第4組抽到2人的概率；

（3）如果根據(jù)調(diào)研結(jié)果評(píng)選學(xué)生放心餐廳，應(yīng)該評(píng)選A部還是B部（將頻率視為概率）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且關(guān)于的方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根，，，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，為過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的拋物線(xiàn)的弦，已知以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求的值及該圓的方程；

（2）設(shè)為上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了解某品種一批樹(shù)苗生長(zhǎng)情況，在該批樹(shù)苗中隨機(jī)抽取了容量為120的樣本，測(cè)量樹(shù)苗高度(單位：cm)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，其高度均在區(qū)間[19，31]內(nèi)，將其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中高度為27cm及以上的樹(shù)苗為優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗.

（1）求圖中a的值，并估計(jì)這批樹(shù)苗高度的中位數(shù)和平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

（2）已知所抽取的這120棵樹(shù)苗來(lái)自于AB兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下列聯(lián)表：將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗與A，B兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)有關(guān)系，并說(shuō)明理由.

參考數(shù)據(jù)：

參考公式：，其中

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