【題目】設(shè)數(shù)列 的前項(xiàng)和為,對一切,點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上.

1)求,歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式(不必證明);

2)將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為,, ;,,,;,,分別計算各個括號內(nèi)各數(shù)之和,設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為,求的值;

3)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積,若不等式對一切都成立,其中,求的取值范圍.

【答案】1,;(22010;(3.

【解析】

1)點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得,令依次可求得,歸納出通項(xiàng)公式;

2)依題意,每一次循環(huán)記為一組.由于每一個循環(huán)含有4個括號,故是第25組中第4個括號內(nèi)各數(shù)之和.這樣可求得(注意規(guī)律),而,因此結(jié)論易用得

3)由,得,不等式對一切都成立, 就是對一切都成立,

設(shè),則只需即可.用作商的方法說明是遞減數(shù)列,從而問題易求解.

1)因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上,故,所以.

,得,所以;令,得,所以,,……

由此猜想:.

2)因?yàn)?/span>,所以數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為(2),(46),(8,1012),(14,16,18,20);(22),(24,26),(28,30,32),(34,36,38,40);(42),….

每一次循環(huán)記為一組.由于每一個循環(huán)含有4個括號,故是第25組中第4個括號內(nèi)各數(shù)之和.由分組規(guī)律知,由各組第4個括號中所有第1個數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列,且公差為20.

同理,由各組第4個括號中所有第2個數(shù)、所有第3個數(shù)、所有第4個數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列,且公差均為20. 故各組第4個括號中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列,且公差為80.

注意到第一組中第4個括號內(nèi)各數(shù)之和是68,

所以.,所以.

3)因?yàn)?/span>,故,所以.

,故對一切都成立,

就是對一切都成立,

設(shè),則只需即可.

由于,所以,故是單調(diào)遞減,

于是,解得.

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附:.

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(Ⅰ)用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(Ⅱ)設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中,甲同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件發(fā)生的概率.

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