Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若，是方程的兩個不同的實數(shù)根，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上單調(diào)遞增．；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）對函數(shù)求導(dǎo)，由定義域和已知即可判斷的單調(diào)性；

（Ⅱ）根據(jù)已知條件列出等式，利用分析法證明即可．

解：（Ⅰ）由題知的定義域為，

，

由于，，所以恒成立，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）因為，是方程，

即方程的兩個不同的實數(shù)根，

所以，所以，

證法一：設(shè)，

則，

可得，，

要證，

只需證，

只需證，

只需證，

只需證，

考慮到，

只需證．（*）

令，

則，

所以在上單調(diào)遞減，

所以，

所以（*）式成立，所以原命題成立．

證法二：由，

得，

所以．（*）．

又要證，

只需證，

只需證，結(jié)合（*）式，

只需證，

設(shè)，只需證明，

構(gòu)造函數(shù)，只需求證，

由于，則，

所以成立，所以得證．