Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx-

1

2

sin²x-

3

2

cos²x（x∈R）
（1）當(dāng)x∈[-

π

12

，

5π

12

]時(shí)，求函數(shù)f（x）取得最大值時(shí)的值；
（2）設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別是a，b，c，且a=1，c∈N^*，若向量

m

=（sinB，2），

n

=（-1，sinA），

n

⊥

m

，求c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）將函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求出當(dāng)x∈[-

π

12

，

5π

12

]時(shí)，求函數(shù)f（x）取得最大值時(shí)的值；
（2）根據(jù)向量垂直，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sinxcosx-

1

2

sin²x-

3

2

cos²x
=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
∵x∈[-

π

12

，

5π

12

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
即-

3

2

-1≤sin（2x-

π

6

）-1≤0，
∴當(dāng)sin（2x-

π

6

）=1，即2x-

π

6

=

π

2

，得x=

π

3

，f（x）取得最大值；
（2）∵向量

m

=（sinB，2），

n

=（-1，sinA），

n

⊥

m

，
∴

n

•

m

=-sinB+2sinA=0，即-b+2a=0，b=2a，
∵a=1，∴b=2，
由余弦定理c²=1+4-2×1×2cosC=5-4cosC，
∵0＜C＜

π

2

，∴0＜cosC＜1，
∴1＜c²＜5，即1＜c＜

5

，
又∵c∈N^*，∴c=2，經(jīng)檢驗(yàn)符合三角形要求．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及利用余弦定理解三角形，要求熟練掌握相應(yīng)的公式．