Question

已知函數(shù)f（x）=xln（1+x）-a（x+1）（x＞0），其中a為實(shí)常數(shù)．
（1）若函數(shù)g(x)=f′(x)-

2x

1+x

≥0定義域內(nèi)恒成立，求a的取值范圍；
（2）證明：當(dāng)a=0時(shí)，

f(x)

x2

≤1；
（3）求證：

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

＜ln(1+n)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意g(x)=ln(1+x)-

x

1+x

-a，x∈[0，+∞)則g′(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

≥0即g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，從而a≤g（0）=0，問題解決．
（2）即證ln（1+x）≤x，x∈[0，+∞），設(shè)h（x）=ln（1+x）-x（x＞0），由h′(x)=

1

1+x

-1=

-1

1+x

≤0，得h（x）≤h（0）=0，從而ln（1+x）≤x，x∈[0，+∞）；
（3）利用

x

x+1

≤ln（1+x）≤x，x∈[0，+∞），令x=

1

n

，累加得：

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

＜ln（1+n）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

解答： 解：（1）由題意g(x)=ln(1+x)-

x

1+x

-a，x∈[0，+∞)
則g′(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

≥0
即g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
a≤g（0）=0，
∴a∈（-∞，0]；
（2）即證ln（1+x）≤x，x∈[0，+∞），
設(shè)h（x）=ln（1+x）-x（x＞0），
∴h′(x)=

1

1+x

-1=

-1

1+x

≤0
∴h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h（x）≤h（0）=0，
∴l(xiāng)n（1+x）≤x，x∈[0，+∞）；
（3）利用

x

x+1

≤ln（1+x）≤x，x∈[0，+∞），
令x=

1

n

，得：

1

n+1

＜ln（1+n）-lnn＜

1

n

，

1

n

＜lnn-ln（n-1）＜

1

n-1

，
…，

1

2

＜ln2-ln1＜1，
累加得：

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

＜ln（1+n）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
∴當(dāng)a=0時(shí)，

f(x)

x2

≤1；

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道綜合題．