【題目】如圖,四邊形中(圖1),的中點(diǎn),, ,將(圖1)沿直線折起,使二面角(如圖2).

1 2

(1)求證:平面;

(2)求異面直線所成角的余弦值;

(3)求點(diǎn)到平面的距離.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3).

【解析】

(1)中點(diǎn)連接,,故,,滿足,, 所以為斜邊的直角三角形,,因的中點(diǎn),所以的中位線,由此能夠證明平面;(2)為原點(diǎn)軸,建立空間直角坐標(biāo)系由,知由此能求出異面直線所成角;(3),滿足,是平面的一個(gè)法向量,由此能求出點(diǎn)到平面的距離.

(1)

如圖取BD中點(diǎn)M,連接AM,ME.因,

滿足:,

所以BC為斜邊的直角三角形,,

的中點(diǎn),所以ME的中位線

,,

是二面角的平面角=

,AM、ME是平面AME內(nèi)兩相交于M的直線

平面AEM

,為等腰直角三角形,

.

(2)如圖,以M為原點(diǎn)MBx軸,MEy軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

則由(1)及已知條件可知B(1,0,0),

,D,C,

設(shè)異面直線所成角為,

,

,

可知滿足,

是平面ACD的一個(gè)法向量,

記點(diǎn)到平面的距離d,則在法向量方向上的投影絕對(duì)值為d

,所以d.

(2),(3)解法二:

AD中點(diǎn)N,連接MN,MN的中位線,MN//AB,ME//CD

所以直線所成角為等于MNME所成的角,

或其補(bǔ)角中較小之一 ,

,N為在斜邊中點(diǎn)

所以有NE=,MN=,ME=,

,

=.

(3)記點(diǎn)到平面的距離d,則三棱錐B-ACD的體積,

又由(1)知AEA-BCD的高、,

,

EBC中點(diǎn),AEBC,,

,

所以到平面的距離.

解法三:(1) ,滿足:,,

如圖,以D為原點(diǎn)DBx軸,DCy軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

則條件可知D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0),, A(a,b,c) (由圖知a>0,b>0,c>0) ,

平面BCD的法向量可取,

,所以平面ABD的一個(gè)法向量為

則銳二面角的余弦值

從而有,

所以平面

(2)由(1),D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0),

設(shè)異面直線所成角為,,

(3)可知滿足,

是平面ACD的一個(gè)法向量,

記點(diǎn)到平面的距離d,則在法向量方向上的投影絕對(duì)值為d

, 所以d.

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