Question

6．已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，4$\overrightarrow{PB}$+5$\overrightarrow{PC}$+3$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{0}$，現(xiàn)將一粒紅豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，則紅豆落在△PBC內(nèi)的概率是（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{5}{12}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)4$\overrightarrow{PB}$+5$\overrightarrow{PC}$+3$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{0}$，計(jì)算△PBC的面積，代入幾何概型概率公式，可得答案．

解答 解：令$\overrightarrow{PD}$=4$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{PE}$=5$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{PA}$，
則∵4$\overrightarrow{PB}$+5$\overrightarrow{PC}$+3$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{PE}$+$\overrightarrow{PF}$=$\overrightarrow{0}$，
即P為△DEF的重心，

此時(shí)△PDE，△PEF，△PDF的面積相等，
則△PDE的面積是△PBC的20倍，
△PEF的面積是△PAC的15倍，
△PDF的面積是△PAB的12倍，
故△ABC的面積是△PBC的4倍，
故將一粒紅豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，則紅豆落在△PBC內(nèi)的概率是$\frac{1}{4}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出滿足條件和所有基本事件對(duì)應(yīng)的幾何量，是解答的關(guān)鍵，難度中檔．