Question

直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度．已知直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 +tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)，0＜α＜π），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=

2cosθ

sin2θ

．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點，當(dāng)α變化時，求|AB|的最小值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）利用xx=ρcosθ，yy=ρsinθ即可化為直角坐標(biāo)方程；
（2）將直線l的參數(shù)方程代入y²=2x，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式及參數(shù)的幾何意義即可得出．

解答： 解：（1）由ρ=

2cosθ

sin2θ

，得（ρsinθ）²=2ρcosθ，
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=2x．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入y²=2x，得t²sin²α-2tcosα-1=0．
設(shè)A、B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，則
t₁+t₂=

2cosα

sin2α

，t₁t₂=-

1

sin2α

，
∴|AB|=|t₁-t₂|=

2

sin2α

，當(dāng)α=

π

2

時，|AB|取最小值2．

點評：本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與拋物線相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式及參數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．