Question

甲、乙、丙三人中要選一人去參加唱歌比賽，于是他們制定了一個(gè)規(guī)則，規(guī)則為：（如圖）以O(shè)為起點(diǎn)，再?gòu)腁₁，A₂，A₃，A₄，A₅，這5個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X，若X＞0就讓甲去；若X=0就讓乙去；若X＜0就是丙去．
（Ⅰ）寫(xiě)出數(shù)量積X的所有可能取值；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人去參加比賽的概率，并由求出的概率來(lái)說(shuō)明這個(gè)規(guī)則公平嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)向量數(shù)量積的定義即可計(jì)算X的所有可能取值；
（Ⅱ）

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得：

OA1

•

OA2

=(1，0)•(1，-1)=1，

OA1

•

OA3

=(1，0)•(0，-1)=0，

OA1

•

OA4

=(1，0)•(0，1)=0，

OA1

•

OA5

=(1，0)•(-1，1)=-1，

OA2

•

OA3

=(1，-1)•(0，-1)=1，

OA2

•

OA4

=(1，-1)•(0，1)=-1，

OA2

•

OA5

=(1，-1)•(-1，1)=-2，

OA3

•

OA4

=(0，-1)•(0，1)=-1，

OA3

•

OA5

=(0，-1)•(-1，1)=-1，

OA4

•

OA5

=(0，1)•(-1，1)=1．
∴X的所有可能取值為-2，-1，0，1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知基本事件共10個(gè)，
X＞0的事件有3個(gè)，
X=0的事件有2個(gè)，
X＜0的事件有5個(gè)，
P（甲去）=

3

10

．
P（乙去）=

2

10

．
P（丙去）=

5

10

．
甲乙丙去的概率不相同，
∴這個(gè)規(guī)則不公平．

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型及其概率公式，以及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算的綜合應(yīng)用，屬中檔題．