Question

設(shè)定義在[x₁，x₂]的函數(shù)y=f（x）的圖象的兩個端點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．M（x，y）是f（x）圖象上任意一點，其中x=λx₁+（1-λ）x₂，（λ∈R），且

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，若不等式|

MN

|≤k恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[x₁，x₂]上“k階線性近似”．若函數(shù)y=

x

與y=

3	x

在[0，1]上有且僅有一個“k階線性近似”，則實數(shù)k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：冪函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)條件得到M、N橫坐標(biāo)相等，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．利用函數(shù)最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵由

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，
∴B，N，A三點共線，
又由x=λx₁+（1-λ）x₂與向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，得N與M的橫坐標(biāo)相同．
∵在[0，1]上，
∴x₁=0，x₂=1，
即A（0，0），B（1，1），
則AB方程為y=x，
則|

MN

|=

x

-x，
設(shè)g（x）=

x

-x，
則g′（x）=

1

2 x

-1=

1-2 x

2 x

，
由g′（x）=0，解得x=

1

4

，
則x=

1

4

是函數(shù)g（x）的極大值，同時也是最大值，
則g_max（

1

4

）=

1 4

-

1

4

=

1

2

-

1

4

=

1

4

，
設(shè)m（x）=

3	x

-x，
則m′（x）=

1

3

x-

2

3

-1=

1

3 3 x2

-1=

1-3 3 x2

3 3 x2

，
由m′（x）=0得，x=

3

9

，
此時m（x）取得極大值，同時也是最大值，
則m（

3

9

）=

3	3 9

-

3

9

=

3

3

-

3

9

=

2 3

9

，
要使函數(shù)y=

x

與y=

3	x

在[0，1]上有且僅有一個“k階線性近似”，
則

1

4

≤k≤

2 3

9

，
故實數(shù)k的取值范圍為k∈[

1

4

，

2 3

9

)，
故答案為：k∈[

1

4

，

2 3

9

)．

點評：點評：本題考查新定義，解答的關(guān)鍵是將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，同時應(yīng)注意恒成立問題的處理策略．運(yùn)算量較大，有一定的難度．