Question

如圖所示，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA₁=AB=2，E為棱AA₁的中點(diǎn)．
（1）證明：B₁C₁⊥CE； 
（2）設(shè)點(diǎn)M在線段C₁E上，且直線AM與平面ADD₁A₁所成角的正弦值為

2

6

．求線段AM的長．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明CC₁⊥B₁C₁，B₁C₁⊥C₁E，可得B₁C₁⊥平面CC₁E，即可證明結(jié)論；
（2）連結(jié)D₁E，過點(diǎn)M作MH⊥ED₁于點(diǎn)H，可得MH⊥平面ADD₁A₁，連結(jié)AH，AM，則∠MAH為直線AM與平面ADD₁A₁所成的角．設(shè)AM=x，求出EH，利用余弦定理建立方程，即可求線段AM的長．

解答： （1）證明：因?yàn)閭?cè)棱CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，
所以CC₁⊥B₁C₁．
因?yàn)锳D=CD=1，AA₁=AB=2，E為棱AA₁的中點(diǎn)，
所以B₁E=

5

，B₁C₁=

2

，EC₁=

3

，
從而B₁E²=B₁C

2 1

+EC

2 1

，
所以在△B₁EC₁中，B₁C₁⊥C₁E．
又CC₁，C₁E?平面CC₁E，CC₁∩C₁E=C₁，
所以B₁C₁⊥平面CC₁E，
又CE?平面CC₁E，故B₁C₁⊥CE．
（2）解：連結(jié)D₁E，過點(diǎn)M作MH⊥ED₁于點(diǎn)H，可得MH⊥平面ADD₁A₁，
連結(jié)AH，AM，則∠MAH為直線AM與平面ADD₁A₁所成的角．
設(shè)AM=x，從而在Rt△AHM中，有MH=

2

6

x，AH=

34

6

x．
在Rt△C₁D₁E中，C₁D₁=1，ED₁=

2

，得EH=

2

MH=

1

3

x．
在△AEH中，∠AEH=135°，AE=1，由AH²=AE²+EH²-2AE•EHcos 135°，得

17

18

x²=1+

1

9

x²+

2

3

x．
整理得5x²-2 

2

x-6=0，解得x=

2

（負(fù)值舍去），
所以線段AM的長為

2

．

點(diǎn)評：本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了線面角和二面角的求法，考查余弦定理，考查小時(shí)分析解決問題的能力，屬于中檔題．