Question

已知f（x）=|2x-

3

4

|+|2x+

5

4

|．
（1）關(guān)于x的不等式f（x）≥a²-a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)m，n∈R⁺，且m+n=1，求證：

2m+1

+

2n+1

≤2

f(x)

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用絕對(duì)值的幾何意義可知函數(shù)f(x)=|2x-

3

4

|+|2x+

5

4

|表示數(shù)軸上點(diǎn)P（2x）到點(diǎn)A（

3

4

）和B（-

5

4

）兩點(diǎn)的距離，從而可得f（x）_min=2，解相應(yīng)的不等式即可；
（2）利用分析法結(jié)合基本不等式即可證得結(jié)論．

解答： 解：（1）依據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知函數(shù)f(x)=|2x-

3

4

|+|2x+

5

4

|表示數(shù)軸上點(diǎn)P（2x）到點(diǎn)A（

3

4

）和B（-

5

4

）兩點(diǎn)的距離，
其最小值為f（x）_min=2…（3分）
∴不等式f（x）≥a²-a恒成立只需2≥a²-a，解得-1≤a≤2…（5分）
（2）∵f（x）_min=2，∴只需證明：

2m+1

+

2n+1

≤2

2

成立，
∵

2(2m+1)

≤

2+(2m+1)

2

=m+

3

2

；

2(2n+1)

≤

2+(2n+1)

2

=n+

3

2

．…（8分）
于是

2(2m+1)

+

2(2n+1)

≤m+

3

2

+n+

3

2

=m+n+3=4，
∴

2m+1

+

2n+1

≤2

2

成立，
故要證明的不等式成立．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查絕對(duì)值的幾何意義與基本不等式的應(yīng)用，考查分析、運(yùn)算與論證能力，屬于中檔題．