Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)的解析式為f（x）=-4^x+a•2^x（a∈R）．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）若f（x）在[0，1]上的最大值h（a），
    ①求h（a）的解析式；         
    ②求滿足不等式h（a）≥1的a取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，由已知表達(dá)式可求得f（-x），根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）=f（-x），從而得到答案；
（2）令t=2^x，則t∈[1，2]，則原函數(shù)變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)，按照對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系分三種情況討論即可求得最大值h（a）．

解答： 解：（1）設(shè)x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，f（-x）=-2^-2x+a•2^-x，
又f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x）=-2^-2x+a•2^-x，
故f（x）=-2^-2x+a•2^-x，x∈[-1，0]．
（2）∵f（x）=-2^2x+a•2^x，x∈[0，1]．令t=2^x，則t∈[1，2]，
∴g（t）=at-t²=-(t-

a

2

)2+

a2

4

，
①當(dāng)

a

2

＜1時(shí)，即 a＞2，得到h（a）=g（1）=a-1
②當(dāng)1≤

a

2

≤2時(shí)，即 2≤a≤4，得到h(a)=g(

a

2

)=

a2

4

，
③當(dāng)

a

2

＞2，即a＞4，得到h（a）=g（2）=2a-4，
∴h(a)=

a-1  ，a＞2 a2 4   ，2≤a≤4 2a-4  ，a＞4

，
下面對a的取值情形進(jìn)行討論：
①當(dāng)a＞2，得到h（a）=g（1）=a-1≥1，
解得a≥2，
此時(shí)，a＞2，
②當(dāng) 2≤a≤4，得到h(a)=g(

a

2

)=

a2

4

≥1，
解得a≥2或a≤-2，
此時(shí)，2≤a≤4，
③當(dāng)a＞4，得到h（a）=g（2）=2a-4≥1，
解得a＞

5

2

，
此時(shí)，a＞4，
綜上，a的取值范圍為（2，+∞）．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的性質(zhì)、最值，換元法和分類討論思想的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．