Question

（1）設(shè)x，y為正數(shù)，求(x+y)(

1

x

+

4

y

)的最小值，并寫出取得最小值的條件．
（2）設(shè)a＞b＞c，若

1

a-b

+

1

b-c

≥

n

a-c

恒成立，求n的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）展開多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，然后利用基本不等式求最值，并得到使代數(shù)式取得最小值的條件；
（2）由已知得到a-b，a-c，b-c的符號(hào)，兩邊同時(shí)乘以a-c后變式，然后利用基本不等式求最值，從而得到n的最大值．

解答： 解：（1）∵x＞0，y＞0
∴(x+y)(

1

x

+

4

y

)=1+

y

x

+

4x

y

+4≥5+2

4

=9，
當(dāng)且僅當(dāng)

y

x

=

4x

y

，即y=2x時(shí)取得最小值；
（2）∵a＞b＞c
∴a-b＞0，a-c＞0，b-c＞0，
∴

1

a-b

+

1

b-c

≥

n

a-c

可化為n≤(

1

a-b

+

1

b-c

)(a-c)
令t=(

1

a-b

+

1

b-c

)(a-c)
=(

1

a-b

+

1

b-c

)[(a-b)+(b-c)]
=1+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

+1≥2+2=4．
當(dāng)且僅當(dāng)

b-c

a-b

=

a-b

b-c

，即2b=a+c時(shí)等號(hào)成立．
∴n≤4，
∴n的最大值是4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了利用基本不等式求最值，解答（2）關(guān)鍵是對(duì)于代數(shù)式的變化，是中檔題．