Question

已知函數(shù)f（x）=

1

1+x2

．
（1）求證：函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)．
（2）求函數(shù)f（x）=

1

1+x2

在[-3，2]上的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）=

1

1+x2

在[-3，2]上的值域．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

1+x12

-

1

1+x22

=

x22-x12

(1+x12)(1+x22)

∵x₂²-x₁²=（x₁+x₂）（x₂-x₁），x₁＜x₂≤0
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＜0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）=

1

1+x2

在（-∞，0]上是增函數(shù)．
（2）易知函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)且f（x）是偶函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[-3，0]上的值域為：

1

10

≤f（x）≤1．
函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，此時

1

5

≤f（x）≤1．
綜上

1

10

≤f（x）≤1．
即函數(shù)f（x）=

1

1+x2

在[-3，2]上的值域[

1

10

，1]．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關鍵．