Question

已知p：方程x²+（m+3）x+1=0有兩個不相等的負實數(shù)根；q：方程4x²-4mx+4m+5=0有兩個不相等的大于-1的實數(shù)根，求所有使“p或q”為真命題，同時“p且q”為假命題的實數(shù)m組成的集合M．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：對于p：方程x²+（m+3）x+1=0有兩個不相等的負實數(shù)根，可得△=（m+3）²-4＞0，且-（m+3）＜0，即可解出；命題q：方程4x²-4mx+4m+5=0有兩個不相等的大于-1的實數(shù)根，則△=16m²-16（4m+5）＞0，且對稱軸x=

m

2

＞-1，f（-1）＞0．由“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，可得p與q必然一真一假，解出即可．

解答： 解：對于p：方程x²+（m+3）x+1=0有兩個不相等的負實數(shù)根，∴△=（m+3）²-4＞0，且-（m+3）＜0，解得m＞5；
q：方程4x²-4mx+4m+5=0有兩個不相等的大于-1的實數(shù)根，則△=16m²-16（4m+5）＞0，且對稱軸x=

m

2

＞-1，f（-1）＞0，解得-

9

8

＜m＜-1或m＞5．
∵“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，
∴p與q必然一真一假，
當(dāng)p真q假時，

m＞5 m≤- 9 8 或-1≤m≤5

，解得m∈∅．
當(dāng)q真p假時，

m≤5 - 9 8 ＜m＜-1或m＞5

，解得-

9

8

＜m＜-1．
綜上可得：實數(shù)m組成的集合M=(-

9

8

，-1)．

點評：本題考查了一元二次方程有實數(shù)根與判別式的關(guān)系、不等式的解法、簡易邏輯，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．