Question

【題目】給定數(shù)列，若滿足（且），對于任意，都有，則稱數(shù)列為指數(shù)數(shù)列.

（1）已知數(shù)列、的通項(xiàng)公式分別為，，試判斷、是不是指數(shù)數(shù)列（需說明理由）；

（2）若數(shù)列滿足：，，，證明：是指數(shù)數(shù)列；

（3）若是指數(shù)數(shù)列，，證明：數(shù)列中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）不是指數(shù)數(shù)列，是指數(shù)數(shù)列，見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）對數(shù)列、，驗(yàn)證與，與是否相等，由此判斷出、是不是指數(shù)數(shù)列.

（2）利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后驗(yàn)證，由此證得是指數(shù)數(shù)列.

（3）首先根據(jù)指數(shù)數(shù)列的定義求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用反證法，證得數(shù)列中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.

（1）對于數(shù)列，，，，因?yàn)?/span>，所以不是指數(shù)數(shù)列.

對于數(shù)列，對任意，因?yàn)?/span>，所以是指數(shù)數(shù)列.

（2）由題意，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列.所以.

所以，，

即的通項(xiàng)公式為.所以，故是指數(shù)數(shù)列.

（3）因?yàn)閿?shù)列是指數(shù)數(shù)列，故對于任意的，有，令，則，

所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，.

假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)，，構(gòu)成等差數(shù)列，不妨設(shè)，

則由，得，所以，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，而是偶數(shù)，是奇數(shù)，

故不能成立；

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，而是奇數(shù)，是偶數(shù)，

故也不能成立.

所以，對任意，不能成立，

即數(shù)列的任意三項(xiàng)都不成構(gòu)成等差數(shù)列.

（另證：因?yàn)閷θ我?/span>，一定是偶數(shù)，而與為一奇一偶，故與也為一奇一偶，故等式右邊一定是奇數(shù)，等式不能成立.）