Question

已知以點(diǎn)C為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A（3，1）和B（1，3），且圓自身關(guān)于直線2x+y-3=0對(duì)稱．設(shè)直線l：y=x+m．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)Q在圓C上，若到直線l：y=x+m的距離等于1的點(diǎn)Q恰有4個(gè)，求m的取值范圍？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）依題意所求圓的圓心C為AB的垂直平分線和直線2x+y-3=0的交點(diǎn)，用點(diǎn)斜式求得AB的垂直平分線方程，將它和直線2x+y-3=0聯(lián)立方程組，求出圓心坐標(biāo)，可得半徑，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）當(dāng)圓心到l：y=x+m距離小于1時(shí)，此時(shí)圓上恰有4點(diǎn)到l：y=x+m的距離等于1，即

|m|

2

＜1，由此求得m的范圍．

解答： 解：（1）依題意所求圓的圓心C為AB的垂直平分線和直線2x+y-3=0的交點(diǎn)．
由于AB中點(diǎn)M（2，2），故其垂直平分線為y=x．
聯(lián)立

y=x 2x+y-3=0

解得

x=1 y=1

即圓心C(1，1)，半徑r=2，∴所求圓方程為（x-1）²+（y-1）²=4．
（2）當(dāng)圓心到l：y=x+m距離小于1時(shí)，此時(shí)圓上恰有4點(diǎn)到l：y=x+m的距離等于1，
所以，

|m|

2

＜1 ，|m|＜

2

，
解得-

2

＜m＜

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．