Question

【題目】設(shè)集合 ，如果存在的子集，，同時滿足如下三個條件：

①；

②，，兩兩交集為空集；

③，則稱集合具有性質(zhì).

（Ⅰ） 已知集合，請判斷集合是否具有性質(zhì)，并說明理由；

（Ⅱ）設(shè)集合，求證：具有性質(zhì)的集合有無窮多個.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）不具有，理由見解析；（Ⅱ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）由條件易得集合具有性質(zhì)，對集合中的進行討論，利用題設(shè)條件得出集合不具有性質(zhì)；

（Ⅱ）利用反證法，假設(shè)具有性質(zhì)的集合有限個，根據(jù)題設(shè)條件得出矛盾，即可證明具有性質(zhì)的集合有無窮多個.

解：(Ⅰ)具有性質(zhì)，如可取；

不具有性質(zhì)；理由如下：

對于中的元素，或者

如果，那么剩下個元素，不滿足條件；

如果，那么剩下個元素，也不滿足條件．

因此，集合不具有性質(zhì).

（Ⅱ）證明：假設(shè)符合條件的只有有限個，設(shè)其中元素個數(shù)最多的為.

對于，由題設(shè)可知，存在，滿足條件. 構(gòu)造如下集合

由于

所以

易驗證，，對集合滿足條件，而

也就是說存在比的元素個數(shù)更多的集合具有性質(zhì)，與假設(shè)矛盾．

因此具有性質(zhì)的集合有無窮多個.