【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)也為拋物線的焦點(diǎn).(1)若為橢圓上兩點(diǎn),且線段的中點(diǎn)為,求直線的斜率;
(2)若過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于和,設(shè)線段的長(zhǎng)分別為,證明是定值.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】分析:(1)先利用拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)求出,進(jìn)而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再利用點(diǎn)差法求直線的斜率;(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線和橢圓的方程,得到關(guān)于的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.
詳解:因?yàn)閽佄锞的焦點(diǎn)為,所以,故.
所以橢圓.
(1)設(shè),,則
兩式相減得,
又的中點(diǎn)為,所以,.
所以.
顯然,點(diǎn)在橢圓內(nèi)部,所以直線的斜率為.
(2)橢圓右焦點(diǎn).
當(dāng)直線的斜率不存在或者為時(shí),.
當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí),設(shè)直線的方程為,
設(shè),,聯(lián)立方程得
消去并化簡(jiǎn)得,
因?yàn)?/span>,
所以,.
所以,
同理可得.
所以為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若四面體的三組對(duì)棱分別相等,即,,,則________.(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))
①四面體每個(gè)面的面積相等
②四面體每組對(duì)棱相互垂直
③連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分
④從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)都可以作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)銷售某種品牌的空調(diào)器,每周周初購(gòu)進(jìn)一定數(shù)量的空調(diào)器,商場(chǎng)每銷售一臺(tái)空調(diào)器可獲利500元,若供大于求,則每臺(tái)多余的空調(diào)器需交保管費(fèi)100元;若供不應(yīng)求,則可從其他商店調(diào)劑供應(yīng),此時(shí)每臺(tái)空調(diào)器僅獲利潤(rùn)200元. (Ⅰ)若該商場(chǎng)周初購(gòu)進(jìn)20臺(tái)空調(diào)器,求當(dāng)周的利潤(rùn)(單位:元)關(guān)于當(dāng)周需求量n(單位:臺(tái),n∈N)的函數(shù)解析式f(n);
(Ⅱ)該商場(chǎng)記錄了去年夏天(共10周)空調(diào)器需求量n(單位:臺(tái)),整理得表:
周需求量n | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
頻數(shù) | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,若商場(chǎng)周初購(gòu)進(jìn)20臺(tái)空調(diào)器,X表示當(dāng)周的利潤(rùn)(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某輪胎集團(tuán)有限公司生產(chǎn)的輪胎的寬度 (單位: )服從正態(tài)分布,公司規(guī)定:輪胎寬度不在內(nèi)將被退回生產(chǎn)部重新生產(chǎn).
(1)求此輪胎不被退回的概率(結(jié)果精確到);
(2)現(xiàn)在該公司有一批輪胎需要進(jìn)行初步質(zhì)檢,檢驗(yàn)方案是從這批輪胎中任取件作檢驗(yàn),這件產(chǎn)品中至少有件不被退回生產(chǎn)部,則稱這批輪胎初步質(zhì)檢合格.
()求這批輪胎初步質(zhì)檢合格的概率;
()若質(zhì)檢部連續(xù)質(zhì)檢了批輪胎,記為這批輪胎中初步質(zhì)檢合格的批數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.
附:若,則 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知: =(﹣ sinωx,cosωx), =(cosωx,cosωx),ω>0,記函數(shù)f(x)= ,且f(x)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某大型商場(chǎng)為了了解顧客的購(gòu)物信息,隨機(jī)在商場(chǎng)收集了位顧客的購(gòu)物總額(單位元),將數(shù)據(jù)按照 , 分成組,制成了如下圖所示的頻率分布直方圖:
該商場(chǎng)每日大約有名顧客,為了增加商場(chǎng)銷售總額,近期對(duì)一次性購(gòu)物不低于元的顧客發(fā)放紀(jì)念品.
(1)求頻率分布直方圖中的值,并估計(jì)每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量;
(2)若每日按分層抽樣的方法從購(gòu)物總額在三組對(duì)應(yīng)的顧客中抽取名顧客,這名顧客中再隨機(jī)抽取兩名超級(jí)顧客,每人獎(jiǎng)勵(lì)一個(gè)超級(jí)禮包,求獲得超級(jí)禮包的兩人來(lái)自不同組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】兩條平行直線和圓的位置關(guān)系定義為:若兩條平行直線和圓有四個(gè)不同的公共點(diǎn),則稱兩條平行線和圓“相交”;若兩平行直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn),則稱兩條平行線和圓“相離”;若兩平行直線和圓有一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)不同的公共點(diǎn),則稱兩條平行線和圓“相切”.已知直線,,和圓:相切,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. 或B. 或
C. 或D. 或
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓和直線l:
(1)證明:不論取何值時(shí),直線和圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)求當(dāng)取何值時(shí),直線被圓截得的弦最短,并求最短的弦長(zhǎng).
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