Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+cos2x+a（a∈R，a為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）若x∈[0，  

π

2

]時(shí)，f（x）的最小值為-2，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角函數(shù)中的恒等變換可求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a，從而可求函數(shù)的最小正周期；
（2）x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，繼而可求得a的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin2xcos

π

6

+cos2x+a
=

3

sin2x+cos2x+a
=2sin（2x+

π

6

）+a，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴x=

π

2

時(shí)，f（x）取得最小值，
∴2sin（2×

π

2

+

π

6

）+a=-2，
∴a=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換，著重考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性與最值，屬于中檔題．