Question

設(shè)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a、b＞0)過M(2，

2

)，N(

6

，1)兩點，O為坐標原點
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在圓心在原點的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓E 恒有兩個交點A、B，且

OA

⊥

OB

？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法，可求橢圓E的方程；
（2）分類討論，設(shè)出切線方程與橢圓方程聯(lián)立，要使

OA

⊥

OB

，需使x₁x₂+y₁y₂=0，結(jié)合韋達定理，即可求解．

解答： 解：（1）因為橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）過M（2，

2

），N（

6

，1）兩點，
所以

4 a2 + 2 b2 =1 6 a2 + 1 b2 =1

，解得

1 a2 = 1 8 1 b2 = 1 4

，
所以

a2=8 b2=4

，
所以橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

4

=1（5分）
（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且

OA

⊥

OB

，設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m．
解方程組

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

得x²+2（kx+m）²=8，即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
則△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，
即8k²-m²+4＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-8 1+2k2

（7分）
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

k2(2m2-8)

1+2k2

-

4k2m2

1+2k2

+m2=

m2-8k2

1+2k2

．
要使

OA

⊥

OB

，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，
所以3m²-8k²-8=0，所以k2=

3m2-8

8

≥0．
又8k²-m²+4＞0，所以

m2＞2 3m2≥8

，
所以m2≥

8

3

，即m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，
因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為r=

|m|

1+k2

，
所以r2=

m2

1+k2

=

m2

1+ 3m2-8 8

=

8

3

，所以r=

2 6

3

，
所以所求的圓為x2+y2=

8

3

，此時圓的切線y=kx+m都滿足m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，
而當切線的斜率不存在時，切線為x=±

2 6

3

與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1的兩個交點為(

2 6

3

，±

2 6

3

)或(-

2 6

3

，±

2 6

3

)，滿足

OA

⊥

OB

，
綜上，存在圓心在原點的圓x2+y2=

8

3

，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且

OA

⊥

OB

．（13分）

點評：本題考查利用待定系數(shù)法求橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．