Question

已知函數(shù)f（x）=

sin2x

x2+2

．下列命題：
①f（x）為奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=

π

2

對稱；
③當x=

π

4

時，函數(shù)f（x）取最大值；
④函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=

1

2x

的圖象沒有公共點；
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=

sin2x

x2+2

．分析函數(shù)的奇偶性，對稱性，最值，及與函數(shù)y=

1

2x

的圖象的關鍵，可得答案．

解答： 解：f（x）的定義域R關于原點對稱，且f（-x）=

sin2x

x2+2

=

sin(-2x)

(-x)2+2

=-

sin2x

x2+2

=-f（x），故①f（x）為奇函數(shù)，正確；
函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=

π

2

對稱變換后，得到y(tǒng)=

sin2(π-x)

(π-x)2+2

=-

sin2x

(π-x)2+2

的圖象，與原函數(shù)圖象不重合，故②錯誤；
函數(shù)

lim

x→+∞

f（x）=+∞，故函數(shù)f（x）=

sin2x

x2+2

無最大值，故③錯誤；
函數(shù)y=sin2x∈[-1，1]，函數(shù)y=

x2+2

2x

=

x

2

+

1

x

∈（-∞，-

2

]∪[

2

，+∞），即函數(shù)y=sin2x與函數(shù)y=

x2+2

2x

的圖象無交點，即方程sin2x=

x2+2

2x

無解，故f（x）=

sin2x

x2+2

的圖象與函數(shù)y=

1

2x

的圖象沒有公共點，故④正確；
故正確命題的序號是：①④，
故答案為：①④

點評：本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數(shù)的奇偶性，對稱性，最值及函數(shù)零點等知識點，是函數(shù)部分的綜合應用，難度較大．