Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx+c的圖象為曲線E．
（1）若函數(shù)f（x）可以在x=-1和x=3時(shí)取得極值，求此時(shí)a，b的值；
（2）在滿足（1）的條件下，f（x）＜2c在x∈[-2，6]恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）若函數(shù)f（x）可以在x=-1和x=3時(shí)取得極值，則f'（x）=3x²-2ax+b=0有兩個(gè)解x=-1，x=3，易得a=3，b=-9．
（2）由（1）得f（x）=x³-3x²-9x+c，根據(jù)題意：c＞x³-3x²-9x（x∈[-2，6]）恒成立，令g（x）=x³-3x²-9x，令g′（x）=0，解得：x=-1，x=3，從而函數(shù)g（x）=x³-3x²-9x在[-2，-1）遞增，（-1，3）遞減，（3，6]遞增，求出函數(shù)g（x）在x=-1時(shí)有極大值5且在端點(diǎn)x=6處的值為54，問題解決．

解答： 解：（1）若函數(shù)f（x）可以在x=-1和x=3時(shí)取得極值，
則f'（x）=3x²-2ax+b=0有兩個(gè)解x=-1，x=3，
易得a=3，b=-9．
（2）由（1）得f（x）=x³-3x²-9x+c，
根據(jù)題意：c＞x³-3x²-9x（x∈[-2，6]）恒成立，
令g（x）=x³-3x²-9x，
∴g′（x）=3x²-6x-9，
令g′（x）=0，解得：x=-1，x=3，
∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上遞增，在（-1，3）遞減，
∴函數(shù)g（x）=x³-3x²-9x在[-2，-1）遞增，（-1，3）遞減，（3，6]遞增，
∴函數(shù)g（x）在x=-1時(shí)有極大值5且在端點(diǎn)x=6處的值為54，
∴函數(shù)g（x）=x³-3x²-9x（x∈[-2，6]）的最大值為54，
∴c＞54．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，極值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．