Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，下頂點為A，離心率e=

1

2

，若直線l：x-

3

y-3=0過點A．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，過右焦點F₂作斜率為k的直線l′與橢圓C交于M、N兩點，在x軸上是否存在點p（m，0），使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出b=

3

，由

c

a

=

1

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₂（1，0），設l′的方程為y=k（x-1），聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，設交點為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由于菱形對角線垂直，得(

PM

+

PN

)•

MN

=0，由此能求出存在滿足題意的點P，且m的取值范圍是（0，

1

4

）．

解答： 解：（Ⅰ）由直線l：x-

3

y-3=0，得點A坐標為（0，-

3

），
即b=

3

，由

c

a

=

1

2

，a²=b²+c²，得a=2，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₂（1，0），設l′的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設交點為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∵3+4k²＞0，
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），

PM

+

PN

=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），
由于菱形對角線垂直，∴(

PM

+

PN

)•

MN

=0，
∵

MN

的方向向量是（1，k），
∴k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，
∴k²（

8k2

3+4k2

-2）+

8k2

3+4k2

-2m=0，
由已知條件知k≠0，且k∈R，
∴m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，∴0＜m＜

1

4

．
∴存在滿足題意的點P，且m的取值范圍是（0，

1

4

）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意菱形對角線性質的靈活運用．