Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點．
（1）求證：MN∥平面PAD．
（2）求證：MN⊥CD．
（3）若PD與平面ABCD所成的角為45°，求證：MN⊥平面PCD．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）欲證MN∥平面PAD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面PAD內(nèi)一直線平行即可，設(shè)PD的中點為E，連接AE、NE，易證AMNE是平行四邊形，則MN∥平面PAD；（2）欲證AB⊥CD，先證線面垂直即可得到AB⊥CD；（3）欲證MN⊥平面PCD，先證AE⊥平面PCD．

解答： （1）證明：取PD的中點E，連接AE、NE，N為PCD的中點，∴NE∥CD，NE=

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CD，∵M是AB的中點．底面ABCD是矩形，∴AM∥CD，AM=

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CD，∴NE∥AM，NE=AM，AMNE為平行四邊形，∴MN∥AE，AE?平面PAD，MN?平面PAD，∴MN∥平面PAD．
（2）證明：PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA，∴底面ABCD是矩形，CD⊥AD，AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴CD⊥AE，由（1）知，MN∥AE，∴MN⊥CD．
（3）證明：PD與平面ABCD所成的角為45°，PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即PD與平面ABCD所成的角，即∠PDA=45°，PA⊥AD，∴PA=AD，∴△PAD為等腰直角三角形，E為PD 中點，∴AE⊥PD，又由（2）知，AE⊥CD，PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，由（1）知，MN∥AE，∴MN⊥平面PCD．

點評：本題考查線面、線線的平行與垂直的位置關(guān)系，線面、線線的平行與垂直判定定理及其性質(zhì)的靈活應(yīng)用是關(guān)鍵．