Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，直線l分別經(jīng)過(guò)橢圓長(zhǎng)軸和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，且與圓C：x²+y²=

2

3

相切，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）P為圓C上任意一點(diǎn)，以P為切點(diǎn)作圓C的切線與橢圓E相交于點(diǎn)M，N，求線段|MN|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出a²=2b²，

ab

a2+b2

=

6

3

，由此能求出橢圓E方程．
（Ⅱ）設(shè)圓C的切線方程為y=kx+m，則3m²=2-2k²，聯(lián)立

y=kx-m x2+2y2=2

，得（1+2k²）x²-4kmx+2m²-2=0，由此能求出線段|MN|的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，
∴a²=2b²，
不妨設(shè)l：

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
則

ab

a2+b2

=

6

3

，
解得a=

2

，b=1，
∴橢圓E方程為：

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)圓C的切線方程為y=kx+m，
∴

m

1-k2

=

6

3

，整理，得3m²=2-2k²，
聯(lián)立

y=kx-m x2+2y2=2

，得（1+2k²）x²-4kmx+2m²-2=0，
△＞0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

，
∴|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

8+16k2-8m2

1+2k2

=

1+k2

•

8+32k2 3

1+2k2

，
令1+2k²=t≥1，
則|MN|²=

t+1 2 • 16t-8 3

t2

=

4

3

•

2t2+t-1

t2

=

4

3

[-(

1

t

)2+(

1

t

)+2]，
又0＜

1

t

≤1，∴當(dāng)

1

t

=

1

2

時(shí)，
即k2=

1

2

時(shí)，|MN|_max=

3

．

1

t

＞0時(shí)，|MN|＞

2 6

3

，
∴線段|MN|的取值范圍是（

2 6

3

，

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查線段長(zhǎng)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．