Question

過橢圓

x2

3

+

y2

2

=1的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別作互相垂直的直線l₁，l₂，
（1）直線l₁，l₂交于P（x₀，y₀），求證：

x02

3

+

y02

2

＜1
（2）若直線l₁，l₂分別與橢圓交于A，C和B，D，
（i）求證：

1

|AC|

+

1

|BD|

=定值
（ii）求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得

PF1

•

PF2

=0，所以x02+y02=1，由此能證明

x02

3

+

y02

2

＜1．
（2）（i）證明：設(shè)l₁：y=k（x+1），l2：y=-

1

k

(x-1)，由

y=k(x+1) 2x2+3y2=6

，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，|AC|=

4 3 (1+k2)

2+3k2

，同理：|BD|=

4 3 (1+k2)

3+2k2

，由此能證明

1

|AC|

+

1

|BD|

=

5 3

12

．
（ii）由

1

|AC|

+

1

|BD|

=

5 3

12

≥

2

|AC|•|BD|

，得|AC|•|BD|≥

192

25

，由此能求出四邊形ABCD面積的最小值．

解答： （1）解：由

x2

3

+

y2

2

=1的焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∵過橢圓

x2

3

+

y2

2

=1的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別作互相垂直的直線l₁，l₂，
∴

PF1

•

PF2

=0，
∴x02+y02=1，（1分）
∴

x02

3

+

y02

2

＜x02+y02=1．（2分）
（2）（i）證明：設(shè)l₁：y=k（x+1），l2：y=-

1

k

(x-1)，

y=k(x+1) 2x2+3y2=6

，
（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，（3分）
|AC|=

1+k2 36k2-12(3k2+2)(k2-2)

2+3k2

=

4 3 (1+k2)

2+3k2

，（4分）
同理：|BD|=

4 3 (1+k2)

3+2k2

．（5分）
∴

1

|AC|

+

1

|BD|

=

2+3k2+3+2k2

4 3 (1+k2)

=

5 3

12

．（7分）
（ii）∵

1

|AC|

+

1

|BD|

=

5 3

12

≥

2

|AC|•|BD|

，
∴|AC|•|BD|≥

192

25

，
∴SABCD=

1

2

|AC|•|BD|≥

96

25

，
∴四邊形ABCD面積的最小值是

96

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查兩數(shù)和為定值的證明，考查四邊形面積的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．