Question

13．已知△ABC滿(mǎn)足∠B＞∠C，∠A的平分線(xiàn)和過(guò)頂點(diǎn)的高線(xiàn)、中線(xiàn)與邊BC分別交與點(diǎn)L、H、D．證明∠HAL=∠DAL的充分必要條件是∠BAC=90°．

Answer 1

分析 先證充分性：當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，可以退出∠BAH=∠ACB=∠CAD，因此∠HAL=∠DAL；
再證必要性：過(guò)點(diǎn)C作CK⊥AC交CM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)K，可以推得A，B，C，K四點(diǎn)共圓．

解答 證明：先證充分性
∵∠BAC=90°，AH是高、AD是中線(xiàn)，
∴∠BAH=∠ACB=∠CAD，
∵AL是角平分線(xiàn)，∴∠BAL=∠CACL，
∴∠HAL=∠DAL；
再證必要性
過(guò)點(diǎn)C作CK⊥AC交CM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)K，
∵∠HAL=∠DAL，且∠BAL=∠CAL，
∴∠BAH=∠CAD，∴∠ABH=∠CKA，
∴A，B，C，K四點(diǎn)共圓，
∵∠ACK=90°，∴AK為圓的直徑，
∵D是BC中點(diǎn)，∴BD=CD，即直徑AK平分弦BC，且AK不垂直于BC，
∴BC也為圓的直徑，∴∠BAC=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面幾何問(wèn)題的證明，涉及三角形的角平分線(xiàn)，中線(xiàn)，高，以及四點(diǎn)共圓，具有一定的綜合性，屬于難題．