Question

13．已知△ABC滿足∠B＞∠C，∠A的平分線和過頂點的高線、中線與邊BC分別交與點L、H、D．證明∠HAL=∠DAL的充分必要條件是∠BAC=90°．

Answer 1

分析 先證充分性：當∠BAC=90°時，可以退出∠BAH=∠ACB=∠CAD，因此∠HAL=∠DAL；
再證必要性：過點C作CK⊥AC交CM的延長線于點K，可以推得A，B，C，K四點共圓．

解答 證明：先證充分性
∵∠BAC=90°，AH是高、AD是中線，
∴∠BAH=∠ACB=∠CAD，
∵AL是角平分線，∴∠BAL=∠CACL，
∴∠HAL=∠DAL；
再證必要性
過點C作CK⊥AC交CM的延長線于點K，
∵∠HAL=∠DAL，且∠BAL=∠CAL，
∴∠BAH=∠CAD，∴∠ABH=∠CKA，
∴A，B，C，K四點共圓，
∵∠ACK=90°，∴AK為圓的直徑，
∵D是BC中點，∴BD=CD，即直徑AK平分弦BC，且AK不垂直于BC，
∴BC也為圓的直徑，∴∠BAC=90°．

點評 本題主要考查了平面幾何問題的證明，涉及三角形的角平分線，中線，高，以及四點共圓，具有一定的綜合性，屬于難題．