拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過橢圓C：
x2
a2
+
y 2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，并與橢圓的長(zhǎng)軸垂直，已知拋物線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為(-
2
3
，
2
6
3
)．
（1）求拋物線的方程和橢圓C的方程；
（2）若雙曲線與橢圓C共焦點(diǎn)，且以y=±
4
3
x為漸近線，求雙曲線的方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由題意可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-2px（p＞0），代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可解得p，得到拋物線方程，得到準(zhǔn)線方程，即有橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由a，b，c的關(guān)系和點(diǎn)滿足橢圓方程，解得a，b，即可得到橢圓方程；
（2）由題意得到雙曲線的c=1，設(shè)出雙曲線方程，求出漸近線方程，得到a1，b1的方程組，解得即可．
解答： 解：（1）由題意可知拋物線開口向左，
故設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-2px（p＞0），
∵點(diǎn)(-
2
3
，
2
6
3
)在拋物線y2=-2px(p＞0)上，
∴(
2
6
3
)2=-2p•(-
2
3
)，∴p=2，
∴拋物線的方程為y2=-4x；
故準(zhǔn)線方程為x=1，
∴橢圓C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∴c=1，
由于點(diǎn)（-
2
3
，
2
6
3
）也在橢圓上，
則
4
9
a2
+
24
9
b2
=1
a2-b2=c2=1
解得，
a2=4
b2=3
．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）因?yàn)殡p曲線與橢圓C共焦點(diǎn)，
所以雙曲線的焦點(diǎn)也在x軸上，且c=1，
則設(shè)雙曲線的方程為
x2
a12
-
y2
b12
=1(a1＞0，b1＞0)，
由題意可知：
b1
a1
=
4
3
c2=a12+b12=1
，
解得
a12=
9
25
b12=
16
25
，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
25x2
9
+
25y2
16
=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的漸近線和拋物線的準(zhǔn)線方程和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a∈R，滿足sinα+sin2α=1，求下面各式的值：
（1）cos2α+cos4α；
（2）cos2α+cos6α
（3）cos2α+cos6α+cos8α

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知兩平行直線分別過點(diǎn)（1，0）和（0，5），且距離為5，則它們的方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)A（4，m）在拋物線y2=2px（p＞0）上，它到拋物線焦點(diǎn)F的距離為5，
（Ⅰ）求拋物線方程和m的值；
（Ⅱ）若m＞0，直線L過點(diǎn)A作與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線L方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列幾個(gè)5句話其中正確的是
 

①函數(shù)f（x）=(
x
)2與g（x）=x表示的是同一個(gè)函數(shù)；
②若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇1，2]，則函數(shù)f（x+1）的定義域?yàn)閇2，3]；
③若函數(shù)f（x）=x2+mx+1是偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-∞，0]；
④函數(shù)f（x）=ax-3+3（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)（3，3）；
⑤函數(shù)f（x）=2x與g（x）=-2-x關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x3
3
+
x2
4
，g（n）=（
1
2
）n，（n∈N*），若f′（x）≥g（n）當(dāng)x∈（-∞，λ]時(shí)恒成立．
（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，求不等式f′（x）≥g（n）的解集；
（Ⅱ）求實(shí)常數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平行四邊形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)分別是M、N，設(shè)
AM
=
a
，
AN
=
b
，試用
a
，
b
表示
AB
，
BC
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

關(guān)于直線的傾斜角與斜率，下列說法正確的是（　�。�
A、所有的直線都有傾斜角和斜率
B、所有的直線都有傾斜角，但不一定都有斜率
C、直線的傾斜角和斜率有時(shí)都不存在
D、所有的直線都有斜率，但不一定有傾斜角

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，a≠0，其中a∈N*，b∈N，c∈Z，并且b＞2a，函數(shù)y=f（sinx）（x∈R）最大值為2，最小值為-4，
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）已知a＞0，若對(duì)任意x1∈R，總存在x2∈（0，
3π
4
），使得f（x1）＞
a
2
cosx2-4恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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