Question

已知函數(shù)f（x）=1-

1-2x

，g（x）=lnx，對于任意m＜

1

2

，都存在n＞0使得f（m）=g（n），則n-m的最小值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關系

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：由題意可得1-

1-2m

=lnn；從而可得n=e1-

1-2m

；令1-

1-2m

=t，t＜1；則m=t-

t2

2

，從而得到y(tǒng)=n-m=e^t-t+

t2

2

；求導求函數(shù)的最小值即可．

解答： 解：由m＜

1

2

知，
1-

1-2m

＜1；
由f（m）=g（n）可化為
1-

1-2m

=lnn；
故n=e1-

1-2m

；
令1-

1-2m

=t，t＜1；
則m=t-

t2

2

，
則y=n-m=e^t-t+

t2

2

；
故y′=e^t+t-1在（-∞，1）上是增函數(shù)，
且y′=0時，t=0；
故y=n-m=e^t-t+

t2

2

在t=0時有最小值，
故n-m的最小值為1；
故答案為：1．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及換元法的應用，屬于基礎題．