Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

+lnx，其中a∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若不等式f（x）≥1在x∈（0，e]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的定義域，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）化簡不等式，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最大值，問題得以解決．

解答： 解：（1）∵定義域?yàn)椋?，+∞）
∴f′（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，
①當(dāng)a≤0，f′（x）≥0，恒成立，
∴f（x）在定義域（0，+∞）單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0，當(dāng)x＞a時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜x＜a，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間：（0，a）
（2）∵f（x）≥1在（0，e]上恒成立，
∴

a

x

+lnx≥1，
即a≥-xlnx+x任意x∈（0，e]上恒成立，
令g（x）=-xlnx+x，x∈（0，e]，
∴g′（x）=-lnx，
令g′（x）=0，解得x=1，
∴g（x）在（0，1]遞增，在（1，e]遞減，
∴g（x）_max=g（1）=1，
∴a≥1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系，以及恒成立問題，分離參數(shù)，求最值是常用的方法，屬于中檔題