Question

20．求函數(shù)y=-tan³x+4tanx+1，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]值域．

Answer 1

分析 換元可化已知問題為y=-m³+4m+1在m∈[-1，1]的值域，導(dǎo)數(shù)法判單調(diào)性可得．

解答 解：∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴m=tanx∈[-1，1]，
換元可得y=-m³+4m+1，m∈[-1，1]，
求導(dǎo)數(shù)可得y′=-3m²+4＞0，
∴關(guān)于m的函數(shù)y=-m³+4m+1在m∈[-1，1]單調(diào)遞增，
∴當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)取最小值-2，
當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)取最大值4，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇-2，4]

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，換元并用導(dǎo)數(shù)法求解函數(shù)的最值是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．