Question

18．設(shè)數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)等比數(shù)列，且a₁=2，a₃=18，數(shù)列{b_n}成等差數(shù)列，且b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃，b₁+b₂+b₉+b₁₀=a₁+a₂+a₄．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n+1，Q_n=b₂+b₄+b₆+…+b_2n+2，其中n∈N⁺，試比較P_n與Q_n的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合題意算出數(shù)列{a_n}的公比q=3，可得a_n=2×3^n-1．由此得到{b_n}的前4項(xiàng)和等于26，以及b₁+b₂+b₉+b₁₀=62，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式算出公差d=3，b₁=2，得b_n=3n-1；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，由等差數(shù)列求和公式算出P_n、Q_n．作差后，因式分解得P_n-Q_n=$\frac{3}{2}$[n（n-1）-2]，結(jié)合n為正整數(shù)加以討論，即可得到P_n與Q_n的大小關(guān)系，從而使本題得到解決．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公比為q（q＞0），
由a₃=a₁q²得q²=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=$\frac{18}{2}$=9，解得q=3．
∴a_n=a₁q^n-1=2×3^n-1
設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，由b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃=2+6+18=26，
得4b₁+$\frac{4×3}{2}$d=26，
由b₁+b₂+b₉+b₁₀=a₁+a₂+a₄．可得4b1+18d=2+6+54=62，
解得b₁=2，d=3，
所以b_n=b_n+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1；
（2）∵b₁，b₄，b₇，…，b_3n-2，b_3n+1為以3d為公差的等差數(shù)列，
∴P_n=（n+1）b₁+$\frac{n（n+1）}{2}$•3d=$\frac{9}{2}$n²+$\frac{13}{2}$n+2；
同理可得：b₂，b₄+，b₆，…，b_2n+2組成以2d為公差的等差數(shù)列，且b₂=5，
∴Q_n=（n+1）b₂+$\frac{n（n+1）}{2}$•2d=3n²+8n+5．
因此，P_n-Q_n=（$\frac{9}{2}$n²+$\frac{13}{2}$n+2）-（3n²+8n+5）=$\frac{3}{2}$[n（n-1）-2]．
所以對(duì)于正整數(shù)n，當(dāng)n≥2時(shí)，P_n≥Q_n；當(dāng)n=1時(shí)，P_n＜Q_n．

點(diǎn)評(píng) 本題給出等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足的關(guān)系式，求它們的通項(xiàng)公式，并比較兩個(gè)和式的大小．著重考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、利用作差法比較兩個(gè)式子的大小等知識(shí)，屬于中檔題．