Question

【題目】在數(shù)列中，若是整數(shù)，且（，且）.

（Ⅰ）若， ，寫出的值；

（Ⅱ）若在數(shù)列的前2018項中，奇數(shù)的個數(shù)為，求得最大值；

（Ⅲ）若數(shù)列中， 是奇數(shù)， ，證明：對任意， 不是4的倍數(shù).

Answer 1

【答案】(1) ， ， .(2) 前2018項中奇數(shù)的個數(shù)的最大值是1346.(3)詳見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）將， 代入遞推關(guān)系求解的值即可；

（Ⅱ）討論都是偶數(shù)時， 都是奇數(shù)時， 是奇數(shù)， 是偶數(shù)時， 是偶數(shù)， 是奇數(shù)時四種情況即可得解；

（Ⅲ）由是奇數(shù)，分析得前4項沒有4的倍數(shù)，假設(shè)存在最小正整數(shù)，使得是4的倍數(shù)，則均為奇數(shù)，所以一定是偶數(shù)，結(jié)合遞推關(guān)系即可推出矛盾，進而得證.

試題解析：

（Ⅰ），

，

.

所以， ， .

（Ⅱ）（i）當都是偶數(shù)時， 是偶數(shù)，代入得到是偶數(shù)；

因為是偶數(shù)，代入得到是偶數(shù)；

如此下去，可得到數(shù)列中項的奇偶情況是偶，偶，偶，偶，…

所以前2018項中共有0個奇數(shù).

（ii）當都是奇數(shù)時， 是奇數(shù)，代入得到是偶數(shù)；

因為是偶數(shù)，代入得到是奇數(shù)；

因為是偶數(shù)，代入得到是奇數(shù)；

如此下去，可得到數(shù)列中項的奇偶情況是奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，…

所以前2018項中共有1346個奇數(shù).

（iii）當是奇數(shù)， 是偶數(shù)時，

理由同（ii），可得數(shù)列中項的奇偶情況是奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，…

所以前2018項中共有1345個奇數(shù).

（iv）當是偶數(shù)， 是奇數(shù)時，

理由同（ii），可得數(shù)列中項的奇偶情況是偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，…

所以前2018項中共有1345個奇數(shù).

綜上所述，前2018項中奇數(shù)的個數(shù)的最大值是1346.

（Ⅲ）證明：因為是奇數(shù)，

所以由（Ⅱ）知， 不可能都是偶數(shù)，只能是偶奇奇，奇偶奇，奇奇偶三種情況.

因為是奇數(shù)，且，所以也是奇數(shù).

所以為偶數(shù)，且不是4的倍數(shù).

因為，

所以前4項沒有4的倍數(shù)，

假設(shè)存在最小正整數(shù)，使得是4的倍數(shù)，

則均為奇數(shù)，所以一定是偶數(shù)，

由于，且，

將這兩個式子作和，可得.

因為是4的倍數(shù)，所以也是4的倍數(shù)，

與是最小正整數(shù)使得是4的倍數(shù)矛盾.

所以假設(shè)不成立，即對任意， 不是4的倍數(shù).