Question

【題目】已知函數(shù)，，記

（1）證明：有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）記的零點(diǎn)為，，若在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，判斷與的大小，并給出對(duì)應(yīng)的證明.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)證明；（2），證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，故只需求的單調(diào)性，并利用零點(diǎn)存在性定理得到有且僅有唯一零點(diǎn)，從而得證；

（2）本題實(shí)質(zhì)是極點(diǎn)偏移，先根據(jù)（1）和題設(shè)得到，再確定，，然后用分析法給出證明，要證：，即證，而在上遞減，故可證：，又，故即證，即證，接著構(gòu)造函數(shù)，證明其單調(diào)性，從而得到結(jié)果.

（1）證明：的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

故要證明有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即證明有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

∵，即在上單增，

又，，

由零點(diǎn)存在性定理知：在上有且僅有唯一零點(diǎn)，

即在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（2），當(dāng)時(shí)，，

由（1）知存在使，

故時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

因而．

顯然當(dāng)時(shí)，，因而在上單增；

當(dāng)時(shí)，，．

因而在上遞減；

若在有兩個(gè)不等實(shí)根，，則，，

顯然當(dāng)時(shí)，，

而用分析法給出證明，要證：，即證，

而在上遞減，故可證：

，又，

故即證，即證．

記，則，

故即證，而，記，

則，，

當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，

故，

故當(dāng)時(shí)，，

故在上單增，從而當(dāng)時(shí)，，

故得證．