【題目】已知函數(shù), R.
(1)證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)是減函數(shù);
(2)根據(jù)的不同取值,討論函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(3)當(dāng),且時(shí),證明:對(duì)任意,存在唯一的R,使得,且.
【答案】(1)見解析(2) 當(dāng)時(shí),函數(shù)是奇函數(shù);當(dāng)時(shí),函數(shù)是偶函數(shù);當(dāng)且時(shí),函數(shù)是非奇非偶函數(shù),(3)見解析
【解析】試題分析:
(1)任取,設(shè),計(jì)算可得,據(jù)此可得,函數(shù)是減函數(shù).
(2)分類討論可得:當(dāng)時(shí),函數(shù)是偶函數(shù),當(dāng)時(shí)函數(shù)是奇函數(shù),當(dāng)且時(shí),函數(shù)是非奇非偶函數(shù).
(3)由(1)知,當(dāng)時(shí)函數(shù)是減函數(shù),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分別證明的存在性(利用函數(shù)的值域)和唯一性(利用反證法)即可證得題中的結(jié)論.
試題解析:
(1)任取,設(shè),則,
∵,所以,又,∴,即,
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)是減函數(shù).
(2)當(dāng)時(shí), ,所以,所以函數(shù)是偶函數(shù),
當(dāng)時(shí), , ,
所以函數(shù)是奇函數(shù),
當(dāng)且時(shí), , ,
因?yàn)?/span>且,
所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù).
(3)由(1)知,當(dāng)時(shí)函數(shù)是減函數(shù),
所以函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>,
因?yàn)?/span>,所以存在,使得.
假設(shè)存在使得,
若,則,若,則,
與矛盾,故是唯一的,
假設(shè),即或,則或,
所以,與矛盾,故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,,.
(Ⅰ)若點(diǎn)為的中點(diǎn),求證:∥平面;
(Ⅱ)當(dāng)平面平面時(shí),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】自治區(qū)有甲、乙兩位航模運(yùn)動(dòng)員參加了國(guó)家隊(duì)集訓(xùn),現(xiàn)分別從他們?cè)诩?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取8次,記錄如下:
甲:82 81 79 78 95 88 93 84 乙:92 95 80 75 83 80 90 85
(I)畫出甲、乙兩位學(xué)生成績(jī)的莖葉圖,指出學(xué)生乙成績(jī)中的位數(shù);
(II)現(xiàn)要從中派一人參加國(guó)際比賽,從平均成績(jī)和方差的角度考慮,你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加合適?請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2) 若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn), ,且,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費(fèi)者,工藝品的平面設(shè)計(jì)如圖所示,該工藝品由直角和以為直徑的半圓拼接而成,點(diǎn)為半圈上一點(diǎn)(異于,),點(diǎn)在線段上,且滿足.已知,,設(shè).
(1)為了使工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果,需滿足,且達(dá)到最大.當(dāng)為何值時(shí),工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果;
(2)為了工藝禮品達(dá)到最佳穩(wěn)定性便于收藏,需滿足,且達(dá)到最大.當(dāng)為何值時(shí),取得最大值,并求該最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P 在橢圓上運(yùn)動(dòng), 的最大值為m, 的最小值為n,且m≥2n,則該橢圓的離心率的取值范圍為________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,AB=BC,D、E分別為的中點(diǎn).
(1)證明:ED為異面直線BB1與AC1的公垂線段;
(2)設(shè)AB=1, ,求二面角A1—AD—C1的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,其中.
(Ⅰ)若函數(shù)在區(qū)間(1,e)存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若對(duì)任意的,都有≥成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)為拋物線內(nèi)一定點(diǎn),過作兩條直線交拋物線于,且分別是線段的中點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí),求△的面積的最小值;
(2)若且,證明:直線過定點(diǎn),并求定點(diǎn)坐標(biāo)。
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