Question

已知B（-1，0），C（1，0），P是平面上一動點，且滿足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

．
（1）求點P（x，y）的軌跡C對應的方程．
（2）如果點A（m，2）在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD和AE，且AD⊥AE，問直線DE是否過定點？若過定點，求出該定點坐標；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：壓軸題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據(jù)B（-1，0），C（1，0），P是平面上一動點，且滿足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

，可得

(x-1)2+y2

=1+x，化簡可得點P（x，y）的軌跡C對應的方程．
（2）將A（m，2）代入y²=4x可求m=1，從而可得點A的坐標為（1，2），設直線DE的方程為x=my+t代入y²=4x，整理得y²-4my-4t=0，設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）則y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4t，利用

AD

•

AE

=0，代入可求．

解答： 解：（1）∵B（-1，0），C（1，0），P是平面上一動點，且滿足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

，
∴

(x-1)2+y2

=1+x，
化簡可得y²=4x；
（2）將A（m，2）代入y²=4x得m=1，
∴點A的坐標為（1，2）．
設直線DE的方程為x=my+t代入y²=4x，得y²-4my-4t=0，
設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4t，△=（-4m）²+16t＞0（*）
∵AD⊥AE，∴

AD

•

AE

=0，
∴（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-2）（y₂-2）=0，
∴x₁•x₂-（x₁+x₂）+1+y₁•y₂-2（y₁+y₂）+4=0，
代入化簡可得t²-6t+9=4m²+8m+4即（t-3）²=4（m+1）²
∴t-3=±2（m+1）
∴t=2m+5或t=-2m+1，代入（*）式檢驗知只有t=2m+5滿足△＞0，
∴直線DE的方程為x=m（y+2）+5，
∴直線DE過定點（5，-2）．

點評：本題考查了拋物線的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，考查了直線系方程的運用，考查直線過定點，是有一定難度題目．