Question

7．如圖，已知拋物線C：x²=2py（0＜p＜4），其上一點M（4，y₀）到其焦點F的距離為5，過焦點F的直線l與拋物線C交于A，B左、右兩點．
（Ⅰ）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用點在曲線上，以及拋物線的定義，列出方程求解即可．
（Ⅱ）利用方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通過韋達定理x₁+x₂，x₁x₂，利用$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$，求解即可．

解答 解（Ⅰ）由題意，$\left\{\begin{array}{l}16=2p{y_0}\\ \frac{p}{2}+{y_0}=5\end{array}\right.$，解得p=2或p=8，由題意0＜p＜4，所以p=2，y₀=4．
所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=4y．（5分）
（Ⅱ）拋物線的焦點坐標(biāo)（0，1）直線l的方程的方程為：y=kx+1，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，消去y，得x²-4kx-4=0，
顯然△=16k²+16＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k①，x₁x₂=-4②
又$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$，所以$（-{x_1}，1-{y_1}）=\frac{1}{2}（{x_2}，{y_2}-1）$，即x₂=-2x₁③
由①②③消去x₁，x₂，得${k^2}=\frac{1}{8}$，由題意，$k=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
故直線l的方程為$y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}x+1$．（7分）

點評 本題考查拋物線方程的求法，仔細與拋物線的綜合應(yīng)用，考查計算能力．