Question

19．已知關(guān)于x的方程e^x=ax+b（a＞0，b∈R）有相等根，則a+b的最大值為e．

Answer 1

分析 若方程e^x=ax+b（a＞0，b∈R）有相等根，則等價(jià)為y=ax+b是f（x）=e^x的切線，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，建立a，b的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和極值即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)函數(shù)f（x）=e^x，
若方程e^x=ax+b（a＞0，b∈R）有相等根，
則等價(jià)為y=ax+b是f（x）=e^x的切線，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，${e}^{{x}_{0}}$），
則f′（x）=e^x，
則切線斜率k=f′（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$，
則對(duì)應(yīng)的切線方程為y-${e}^{{x}_{0}}$=${e}^{{x}_{0}}$（x-x₀），
即y=${e}^{{x}_{0}}$x+${e}^{{x}_{0}}$（1-x₀），
∵y=ax+b是f（x）=e^x的切線，
∴a=${e}^{{x}_{0}}$，b=${e}^{{x}_{0}}$（1-x₀），
即x₀=lna，則b=a（1-lna），
則a+b=a+a（1-lna）=2a-alna，
設(shè)g（a）=2a-alna，
則g′（a）=2-（lna+1）=1-lna，
由g′（a）＜0得a＞e，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
由g′（a）＞0得0＜a＜e，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
即當(dāng)a=e時(shí)，函數(shù)g（a）=2a-alna取得極大值同時(shí)也是最大值g（e）=2e-elne=2e-e=e，
即a+b的最大值為e，
故答案為：e

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的求解，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的切線問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．