Question

16．關(guān)于x的方程$\sqrt{4-{x^2}}$=kx+2只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． k=0
• B． k=0或k＞1
• C． |k|＞1
• D． k=0或|k|＞1

Answer 1

分析 設(shè)已知方程的左邊為y₁，右邊為y₂，故y₂表示圓心為原點(diǎn)，半徑為2的半圓，y₂表示恒過(guò)定點(diǎn)（0，2）的直線，畫(huà)出兩函數(shù)的圖象，如圖所示，則原方程要只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即要半圓與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)圖象可知當(dāng)直線與半圓相切時(shí)滿足題意，求出此時(shí)k的值，再求出兩個(gè)特殊位置，直線再過(guò)（2，0），求出此時(shí)k的值，當(dāng)k小于求出的值時(shí)滿足題意，同時(shí)求出直線過(guò)（-2，0）時(shí)k的值，當(dāng)k大于求出的值時(shí)滿足題意，綜上，得到所有滿足題意的k的范圍．

解答 解：設(shè)y₁=$\sqrt{4-{x^2}}$，y₂=kx+2，
則y₁表示圓心為原點(diǎn)，半徑為2的x軸上方的半圓，y₂表示恒過(guò)（0，2）的直線，
畫(huà)出兩函數(shù)圖象，如圖所示，根據(jù)圖象可得：
當(dāng)直線與半圓相切，即直線為y=2時(shí)，直線與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，
即方程$\sqrt{4-{x^2}}$=kx+2只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)k=0；
當(dāng)直線過(guò)（0，2）和（2，0）時(shí)，直線的斜率為-1，
則當(dāng)k＜-1時(shí)，直線與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，
即方程$\sqrt{4-{x^2}}$=kx+2只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)直線過(guò)（0，2）和（-2，0）時(shí)，直線的斜率為1，
則當(dāng)k＞1時(shí)，直線與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，
即方程$\sqrt{4-{x^2}}$=kx+2只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
綜上，滿足題意的k的范圍是k=0或k＞1或k＜-1．
故答案為：k=0或k＞1或k＜-1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，以及函數(shù)的圖象，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，解此類題的思路為：把方程兩邊分別設(shè)為函數(shù)，借助圖形，利用兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方程解的情況來(lái)解決問(wèn)題，同時(shí)要求學(xué)生考慮問(wèn)題要全面．